Walaupun isu kewujudan dan keunikan penyelesaian persamaan pembezaan biasa mempunyai jawapan yang sangat memuaskan dengan teori Picard-Lindelof, yang jauh dari kes bagi persamaan pembezaan separa. teorem Cauchy-Kowalevski ini menyatakan bahawa masalah Cauchy bagi apa-apa persamaan pembezaan separa yang pekali analisis dalam fungsi yang tidak diketahui dan derivatif, mempunyai satu penyelesaian analisis sendiri yang unik. Walaupun keputusan ini mungkin kelihatan untuk menjelaskan kewujudan dan keunikan penyelesaian, terdapat contoh-contoh persamaan kebezaan separa lelurus di mana pekali mempunyai derivatif semua tertib (yang bagaimanapun tidak analisis) tetapi yang tidak mempunyai penyelesaian pada semua: lihat Lewy (1957). Walaupun penyelesaian persamaan pembezaan separa wujud dan unik, namun ia mungkin mempunyai ciri-ciri yang tidak diingini. Kajian matematik soalan-soalan ini biasanya dalam konteks yang lebih berkuasa bagi penyelesaian yang lemah.

Satu contoh bagi perilaku patologi adalah urutan masalahCauchy (bergantung kepada n) bagi persamaan Laplace

∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 ,   {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,~}

dengan keadaan sempadan

u ( x , 0 ) = 0 , {\displaystyle u(x,0)=0,} ∂ u ∂ y ( x , 0 ) = sin ⁡ ( n x ) n , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin(nx)}{n}},}

di mana n adalah integer. Terbitan dari u berkenaan dengan y pendekatan 0 seragam dalam x sebagai n meningkat, tetapi penyelesaian adalah

u ( x , y ) = sinh ⁡ ( n y ) sin ⁡ ( n x ) n 2 . {\displaystyle u(x,y)={\frac {\sinh(ny)\sin(nx)}{n^{2}}}.}

Penyelesaian ini menghampiri infiniti jika nx bukan pelbagai integer π untuk sebarang nilai bukan sifar y. Masalah Cauchy untuk persamaan Laplace yang dipanggilill-posed atau tidak dikemukakan dengan baik, kerana penyelesaian yang tidak bergantung terus kepada data daripada masalah. Seperti masalah ill-posed biasanya tidak memuaskan bagi penggunaan fizikal.